Costruire solidi: cubo di piramidi e Teorema di Pitagora

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Dal libro di testo di Emma Castelnuovo “La Matematica”, Figure Solide, pag. 138-139: “Il volume della piramide: costruzione di un modello”.
Come abbiamo già visto in un articolo precedente, è possibile arrivare a comprendere la formula per il volume della piramide partendo dalla costruzione di un modello (oltre a quello di verificare il rapporto dei volumi riempiendo i solidi con sabbia, riso ecc…).
Si possono usare due modelli per dimostrare che il volume della piramide è 1/3 del volume del cubo avente stessa base e la stessa altezza:
1) Si costruisce un cubo formato da 6 piramidi con la faccia di base coincidente con una faccia del cubo e con altezza ½ di quella del cubo.

2) Si costruiscono tre piramidi che hanno per base una faccia del cubo ed i vertici su un vertice della faccia opposta. Ora l’altezza è uno spigolo del cubo, non sono più rette*! Il volume di ciascuna di queste piramidi è uguale a quello della piramide retta corrispondente, lo si intuisce servendosi del modello dinamico con gli elastici: passando dall’una all’altra piramide, base e altezza non cambiano, quindi sono equivalenti.

E’ utile e, forse, uno degli aspetti più interessanti e “sfidanti”, proporre ai ragazzi di progettare lo sviluppo della piramide, senza fornire il disegno pronto: si allenano così ad immaginare il solido e gli elementi che occorrono per costruirlo. In particolare, nel primo modello gli spigoli laterali delle piramidi sono le diagonali del cubo, e nel secondo… Ecco un’occasione per applicare il Teorema di Pitagora e lavorare con le diagonali dei solidi.

*Una piramide si dice retta se il poligono di base è circoscrittibile a una circonferenza e il piede dell’altezza coincide con il centro di questa circonferenza.

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