Con i ragazzi della mia classe seconda, ci conosciamo dallo scorso anno: in prima media abbiamo costruito insieme conoscenze, strumenti e modelli. Così ho deciso di iniziare le lezioni di matematica prendendo spunto dal mio capitolo preferito del libro di Emma, Figure Piane A: Variazione di aree e perimetri. A giugno siamo arrivati ad introdurre e “scoprire” l’area del triangolo attraverso il geopiano, così riparto da qui e do loro la seguente consegna: “Disegna sul foglio a quadretti da 1cm un triangolo di base 6cm ed altezza 4cm. Ne esiste solo uno? Quanti ne puoi costruire? Colorali e ritagliali, poi incollali sul tuo quaderno”.

Si tratta del problema dei triangoli equivalenti di uguale base, che troviamo a pag. 68. La lezione successiva raccogliamo le loro risposte ed osservazioni: il triangolo più semplice, quello che viene subito in mente, dice qualcuno, è il triangolo isoscele. Subito dopo arriva quello rettangolo, poi molti altri semplicemente “spostando” l’altezza lungo la base. Il triangolo isoscele, aggiungono, è il caso centrale: infatti spostandosi a destra o a sinistra lungo la base ci sono i vari triangoli simmetrici, “specchiati”. Molti li attaccano sul quaderno in modo da evidenziare questa osservazione:

Come sempre ci chiediamo: quanti sono i possibili triangoli con queste misure? Qualcuno dice moltissimi, qualcuno dice infiniti, e spiega che l’altezza si può spostare “fuori” dalla base, sempre di più. E’ così che si vedono spesso i triangoli ottusangoli: con l’altezza che cade fuori, lungo la retta su cui giace la base.

Uno dei lavori mostra con chiarezza un’altra proprietà di questi triangoli con stessa base e stessa altezza: il vertice libero in alto si trova sempre sulla stessa retta parallela alla base:

Qui, per far capire meglio, le basi sono state sovrapposte. Nel testo di Emma, si trova proprio questo suggerimento:

Alcuni ne hanno disegnati tantissimi, e li hanno messi in successione, per dare l’idea di questo movimento. Guardandoli ci sembra che “tirando” l’altezza sempre più lontano dalla base, il triangolo si deformi, diventi quasi una linea.

Chiedo che cosa succede all’area e al perimetro. Mi dicono che, si vede, il perimetro aumenta perché due lati si allungano, ma l’area… DEVE rimanere costante perché base ed altezza non cambiano. Però, quel triangolo così deformato non li convince; concludiamo dicendo che deve esserci una compensazione: l’area che si perde spostandosi dal caso centrale deve, in qualche modo, ritrovarsi lateralmente, nel triangolo allungato.

Qualcuno torna sulla questione dei triangoli infiniti: come diceva Emma, ai ragazzi piace parlare di infinito!

A questo punto mostro il modello dinamico dei triangoli equivalenti con uguale base, la cui realizzazione si trova a pag. 212, tra gli approfondimenti.

Il modello dinamico apre nuovi sguardi nei ragazzi, e consente di passare in modo naturale dal discreto al continuo facendo “passi infinitesimali”. L’elastico in modo concreto risponde alle ipotesi fatte in precedenza sul perimetro, alla sua variazione che può essere sentita dalla tensione dell’elastico. La costruzione del modello sarà la nostra prossima sfida!

L’attività è stata svolta con i ragazzi della classe seconda I secondaria di primo grado, IC Leonardo Da Vinci di Roma.

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