Dalla geometria alla proporzionalità diretta e inversa

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Presentiamo qui un articolo della collega Silvia Cerasaro sull’attività svolta nella sua classe 3C dell’IC Secondo di Anagni. Si tratta di un esempio di didattica laboratoriale, che parte da conoscenze ed abilità sviluppate durante i precedenti due anni della scuola secondaria di primo grado per arrivare alla proporzionalità. Anche in questo caso l’uso dei materiali precede la visualizzazione tramite software; da sottolineare anche l’attenzione posta nel far argomentare e quindi nella verbalizzazione. Davvero un bel lavoro!

“Lo studio delle proporzioni nella classe seconda della scuola secondaria di primo grado molto spesso viene trattato solo dal punto di vista aritmetico, anche se giustamente calato nella concretezza della vita reale. Si studiano percentuali per calcolare sconti o aumenti di prezzi, oppure per calcolare dosi differenti per gli ingredienti di una ricetta.
In realtà non si tiene conto dell’utilità geometrica delle proporzioni, a volte non si affronta neanche la similitudine trascurando esperienze che renderebbero più intuitivo il concetto stesso di proporzione.
Dal quinto libro degli Elementi, nella versione di Commandino, si può notare la presenza di segmenti nelle dimostrazioni riguardanti le proporzioni; ma allora, perché se Euclide più di 2 mila anni fa spiegava nei suoi volumi le proporzioni con la geometria oggi un insegnante non sempre ne tiene conto?
Queste premesse cercano di giustificare il motivo per cui ho sfruttato la geometria per spiegare le leggi di proporzionalità diretta ed inversa.
Emma Castelnuovo e Mario Barra in “Matematica nella realtà” utilizzano le funzioni per affrontare lo studio dei quadrilateri isoperimetrici ed equivalenti, mentre io, nell’attività proposta alla mia classe terza, ho sfruttato la geometria per arrivare a disegnare il grafico delle funzioni di proporzionalità diretta ed inversa.

Dopo aver ripassato il piano cartesiano e la sola rappresentazione dei punti su di esso, ho chiesto agli alunni di costruire su cartoncini di differenti colori dei rettangoli aventi l’altezza doppia della base. Dopo aver deciso insieme la lunghezza dell’unità di misura, cioè 1 cm, gli alunni hanno deciso di dare alla base, rispettivamente, i valori 1, 2, 3 e 4, ed hanno calcolato le altezze per ciascuno, chiedendo loro di riportare i dati in una tabella.

BASE 1 2 3 4
ALTEZZA 2 4 6 8

Costruiti tali rettangoli, ho chiesto di confrontarli.
Le affermazioni fatte sono state differenti, dalla più ovvia, ad alcune un po’ più complesse da parte di una alunno:
ogni rettangolo ha l’altezza doppia della base (a ribadire quanto appena fatto)
se dividiamo l’altezza per la base otteniamo sempre 2 (affermazione che permetterà di dare la definizione di costante di proporzionalità diretta);
I perimetri seguono la tabellina del 6, perché si ha 6, 12, 18, 24 e quindi se faccio il perimetro diviso la base ottengo sempre 6, e quindi c’è anche una relazione tra perimetro e base (osservazione corretta non immediatamente visibile a tutti);
Le aree non seguono una regola come le altre (ad imitazione del compagno che aveva controllato i perimetri). Al mio invito a cercare una regola diversa, c’è stata difficoltà in quanto non si teneva conto della seconda dimensione che interviene sul concetto di area, per cui ho deciso di non andare oltre.

A questo punto, ho chiesto agli alunni di sovrapporre i rettangoli colorati da quello di estensione maggiore a quello di estensione minore, in modo di avere tutti in comune il vertice in basso a sinistra coincidente con l’origine del piano cartesiano e di tener conto della consegna iniziale, ovvero che ciascuno era stato costruito in modo da avere l’altezza doppia della base.

Hanno saputo rispondere correttamente alla mia domanda, cioè quali fossero le coordinate dei vertici dei rettangoli che non si trovavano sugli assi, e le hanno sistemate su una tabella come la precedente, scrivendo x al posto della base, ed y al posto dell’altezza.
Immediato l’intervento di un alunno che ha affermato che se cresce la x cresce anche la y sempre del doppio, per cui ho formalizzato la legge, scrivendo y=2x, e affermando che la y cresce in modo direttamente proporzionale rispetto ad x e che il 2 solitamente è chiamata k, costante di proporzionalità diretta.

Ho fatto, quindi, tracciare la retta su cui giacciono le diagonali dei rettangoli che passano per l’origine, affermando che quella rappresenta il grafico delle grandezze x e y direttamente proporzionali.

Finita l’attività, ho controllato i quaderni, ed un’alunna aveva preso appunti con molta precisione, facendo anche un disegno dal quale ho capito che aveva compreso anche la regola che seguono le aree nel contesto considerato, ma che per paura di sbagliare, aveva tenuto per se, come si può vedere dalla seguente immagine:

Per studiare la legge di proporzionalità inversa, ho proceduto in modo del tutto analogo.
Ho chiesto agli alunni di costruire rettangoli equivalenti, di area 16 cm2: hanno immediatamente scritto le combinazioni, tabulando tutto in una tabella con base ed altezza.

BASE 1 2 4 8 16
ALTEZZA 16 8 4 2 1

Subito qualcuno ha fatto notare che tra i rettangoli ce n’era uno particolare avente base e altezza uguali, cioè un quadrato.
Alcuni rettangoli sono “uguali”, si scambiano le basi e le altezze e quindi li facciamo con lo stesso cartoncino colorato.
Il perimetro maggiore è quello del rettangolo “più stretto”, mentre il minore è quello del quadrato.
Ho, quindi, chiesto di portare sul piano cartesiano il rettangolo di base 1 e altezza 16, e di sovrapporre in parte il rettangolo di base 16 e altezza 1, facendo coincidere i vertici in basso a sinistra di ciascuno nell’origine. Ho chiesto lo stesso con i rettangoli 2×8 e 8×2, ed infine viene sovrapposto il quadrato.

Si scrivono le coordinate dei vertici che non si trovano sugli assi cartesiani e si nota (ora con più velocità) che la tabella precedente può essere modificata ponendo x alla base e y all’altezza.
Quindi è stato richiesto di tracciare una curva che passa per i vertici dei rettangoli avuti, specificando che è un ramo di iperbole.
Un alunno, il più vivace, mi ha chiesto perché qui non ci fosse una costante di proporzionalità, come in quella diretta, ma non ho avuto bisogno di rispondere perché stavolta l’alunna timida ha affermato che ciò che non cambia è l’area, per cui k=16.

I laboratori che svolgo con i miei alunni sono sempre seguiti da verbalizzazioni scritte, non solo a rinforzare il lavoro svolto, ma anche per cercare di descrivere quanto appreso sforzandosi ad usare un linguaggio il più specifico possibile, sintetico ed esaustivo.

Le attività sono state seguite da rappresentazioni di alcune funzioni sul software Geogebra o su carta

Ciò che è importante sottolineare e far comprendere ai nostri alunni è che sono stati trattati casi particolari, con k=2 nella proporzionalità diretta e k=16 in quella inversa, e non della regola in generale. In matematica non è corretto procedere in tal senso ma spero che la mia volontà di “concretizzare” un argomento che solitamente resta astratto sia una condizione da tenere in considerazione se si volesse procedere come mostrato.”

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