Geometria: il rapporto di similitudine

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Nel testo scolastico di Emma Castelnuovo, il cap. 3 di “Figure piane B” riguarda la similitudine.

L’argomento si inserisce bene nel percorso del secondo anno delle medie, in cui frazioni e rapporti occupano un ampio spazio e permettono tanti collegamenti, non solo con la geometria ma anche con le Scienze Naturali.

L’interesse degli alunni è stimolato dall’introduzione storica, con il problema di Talete e l’altezza della piramide; si intravede la soluzione parlando di ombre, e con la proiezione di ombre sulla parete si prosegue. I ragazzi sono subito in grado di distinguere coppie di figure simili da coppie di figure non simili (il controesempio è sempre utile per chiarire un’idea) e vedono chiaramente che triangoli e quadrilateri si “comportano” in modo diverso, a causa di quella proprietà dei triangoli di essere indeformabili, scoperta in prima.

Poi si passa a costruire figure, a cominciare dai rettangoli. La costruzione con gli stecchini ed altro materiale mi è stata utile per far capire (per dare un “appoggio visivo” come diceva Emma Castelnuovo) il RAPPORTO DI SIMILITUDINE, che gli alunni spesso confondono con il rapporto tra base ed altezza dello stesso rettangolo.

Parto dall’esercizio 17 di pag. 189: due rettangoli raffigurati hanno le altezze di 2 e 3 unità, e le basi di 4 e 6 unità. E’ evidente che il rapporto tra le rispettive altezze e tra le rispettive basi è sempre 2/3, ma ci si chiede se le parti in cui vengono suddivise le basi sono uguali a quelle delle altezze. La risposta non è scontata. Allora si può dare questa attività, guidata da domande: “Costruisci con gli stuzzicadenti due rettangoli simili, che abbiano il rapporto di similitudine uguale a 1/2”. Molti alunni costruiscono il primo rettangolo con due stecchini di base e uno stecchino di altezza… Cioè confondono il rapporto di similitudine con quello tra base ed altezza. Allora si chiede: “Potresti costruire la base del primo rettangolo con 3 stecchini? In tal caso la base del secondo come dovrebbe essere?” Già qui si discute delle altezze, del perimetro… Ma per chiarire ancora meglio il rapporto di similitudine si chiede, ora, di sostituire le due basi o le due altezze con cannucce o stecchini di altra lunghezza: in questo modo i ragazzi sono costretti a spostare l’attenzione sul rapporto tra lati corrispondenti perché base ed altezza, ora, non contengono la stessa unità che si ripete, lo stecchino, ma due unità di lunghezza diversa.

Perché è importante lavorare sul rapporto di similitudine? Perché quando risolvono i classici problemi sulla similitudine (riduzioni, ingrandimenti, scale), i ragazzi tendono ad impostare subito una proporzione, che però è un metodo “meccanico”: non invita a ragionare. Così, invece, possono valersi anche del rapporto di similitudine stesso: se il rapporto tra due figure è 4:5, la base e l’altezza della prima saranno divise in 4 unità, la base e l’altezza della seconda saranno divise in 5 unità: cambia, appunto, l’unità che si ripete (lo stecchino, la cannuccia).

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