Le sezioni piane del cubo

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Nel primo capitolo di Figure solide, alle pagg. 21 e 22, è presente un laboratorio sulle sezioni piane del cubo, intitolato: “Vedere nello spazio”. Più avanti, alle pagg. 116-118, si trovano numerosi esercizi di approfondimento sullo stesso tema. Le sezioni piane sono un argomento che trova molto spazio nei libri di Emma: in “Didattica della matematica” ci spiega il perché (riportiamo le sue parole, pagg. 101-105):

“… Trattiamo ora un argomento che in generale non viene svolto nelle scuole secondarie, ma che è – a me sembra- molto importante perché mette in relazione geometria dello spazio e geometria del piano; vogliamo parlare delle sezioni piane di alcuni solidi.

Cominciamo dal cubo. Il bambino conosce i cubi fin dal giardino dell’infanzia e proprio perché sono figure tanto note, non destano per lui troppo interesse. Ma si può portare l’attenzione su qualche proprietà più riposta del cubo.

E’ l’osservazione di una gabbietta a forma cubica, un cubo, cioè, le cui facce siano realizzate da reticelle metalliche, che ci conduce a qualche interessante scoperta. La gabbia si trova poggiata su un tavolo in una stanza al buio; socchiudo gli scuri della finestra e una ‘fetta’ di luce penetra nell’interno e va a colpire la gabbia. Si presenta allora un fenomeno interessantissimo: la ‘fetta’ di luce ha illuminato dei punti della gabbia; si vede ‘tracciato’ sul cubo il contorno luminoso di un quadrato o di un rettangolo (fig. 17) e (fig. 18). Dunque, quando un piano di luce taglia un cubo dà luogo a un quadrato o un rettangolo. Questo è quanto osserva il ragazzo.

Studiamo ora la questione da un punto di vista matematico: il piano di luce era in posizione verticale ( era infatti una fenditura fra due scuri di una finestra che dava luogo al piano) e il cubo si trovava poggiato su un tavolo; dunque, il piano luminoso era perpendicolare  a una faccia, alla base del cubo.

Il ragazzo stesso arriverà a concludere che: la sezione di un cubo con un piano perpendicolare a una faccia è un quadrato o un rettangolo.

Siamo partiti  da una semplice osservazione; ma l’osservazione fa nascere dei problemi: se il piano non fosse perpendicolare ad una faccia del cubo, come risulterebbe la sezione? Volendo realizzare questo caso siamo condotti a ideare un’esperienza da effettuarsi mediante un proiettore. Facciamo sì che la luce sia obbligata a uscire dal proiettore attraverso una sottile fenditura rettilinea: la cosa si può realizzare facilmente coprendo la sorgente di luce con un cartoncino scuro su cui si sia operato un taglio ben netto. La luce, uscendo da una fenditura rettilinea, darà luogo a un piano luminoso.

Costruiamo poi l’intelaiatura  del cubo in metallo e materializziamo le facce con fili di elastico paralleli a uno spigolo e a piccolissima distanza uno dall’altro  come è indicato in fig. 19.

Se questo cubo si dispone  in modo da venire tagliato dal piano di luce uscente dal proiettore, osserveremo che saranno illuminati i punti di ogni faccia che sono colpiti dalla luce. Così si potrà avere il quadrato se il piano  è perpendicolare a una faccia ( fig.20); inclinando il piano di luce si potrà avere un rettangolo ( fig. 21). Se il piano è perpendicolare a una diagonale del cubo si può ottenere un triangolo equilatero, ad esempio il triangolo equilatero massimo ( fig. 22); spostando il piano parallelamente a se stesso verso un vertice si  potranno vedere dei triangoli equilateri sempre più piccoli.

Se poi il piano il piano viene spostato, sempre parallelamente a se stesso ma verso il vertice opposto, si vedrà disegnarsi sul cubo non più un triangolo ma un esagono, dato che vengono ad essere colpiti dalla luce non più tre ma sei spigoli del cubo. In particolare, quando il piano passa per i punti medi di certi spigoli ( fig. 23), si otterrà un esagono regolare.

E’ interessante – e usciamo qui fuori dal campo della geometria elementare – riconoscere la continuità nel passaggio dall’una all’altra figura piana, dal triangolo all’esagono; bisogna riportarsi al confronto fra due figure, la figura tagliata nel piano dalle facce  (in senso stretto) del cubo e la figura che è tagliata sullo stesso piano dai piani a cui appartengono quelle facce (l’esalatero semplice, secondo linguaggio della geometria proiettiva).
Si vede così come, anche nello studio della più semplice figura solida, si possano trovare questioni su cui di solito non ci si intrattiene, ma che hanno una notevole importanza nei rapporti fra geometria delle spazio e quella del piano.”

Nella mia terza di quest’anno, dopo aver lavorato sui possibili sviluppi del cubo, ho proposto il laboratorio sulle sue sezioni piane. Le domande che hanno fatto da guida durante l’attività riguardavano la tipologia e il numero di possibili poligoni che si formano sezionando un cubo. Non avendo a disposizione i cubetti descritti da Emma, abbiamo usato un diverso materiale: ciascuna coppia di alunni ha ricevuto un cubetto di plastica trasparente e qualche elastico. Tendendo l’elastico in vari modi intorno al cubo, si può facilmente ottenere la “sezione” voluta; in trasparenza è anche facile verificare se l’elastico “giace” tutto su un solo piano! I ragazzi provavano, si confrontavano e spiegavano ai compagni in quali punti tenere fermo l’elastico per formare questo o quel poligono (ancora una volta, nel descrivere le proprie azioni, l’alunno è portato ad utilizzare la terminologia corretta).

Abbiamo provato anche con acqua colorata o sabbia. In questo caso, i ragazzi si sono accorti che, se volevano l’esagono regolare, o il triangolo equilatero massimo, il cubetto andava riempito… Quanto? Ecco che, cambiando materiale, entra in gioco anche il rapporto tra vuoto e pieno, quindi tra le due parti in cui resta diviso il cubo…

Il prossimo passo, dopo aver fatto un po’ di problemi di approfondimento, consisterà nel costruire un cubo sezionato, scegliendo tra gli undici possibili, lo sviluppo piano più adatto…

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