Misure di segmenti e numeri irrazionali

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Questo il titolo dell’attività di laboratorio proposta nel volume Numeri B, pag. 153. Un’attività estremamente interessante, che ormai da diversi anni propongo nelle classi seconde, dopo aver affrontato il Teorema di Pitagora, la diagonale del quadrato e la conseguente scoperta dei numeri irrazionali. Scoperta che avevamo fatto con la duplicazione del quadrato, proposta in questo articolo https://emmametodo.com/raddoppia-il-quadrato/

Diverse le questioni sollevate da questa attività:

  • applicazione del Teorema di Pitagora;
  • approfondimento del concetto di misura;
  • rappresentazione geometrica dei numeri irrazionali con segmenti;
  • confronto tra irrazionali;
  • riflessione su quali operazioni è possibile fare con i radicali e quali no;
  • concetto di infinito;
  • storia della matematica

L’attività è piuttosto semplice da realizzare, soprattutto se si utilizzano i fogli a quadrettoni da 1 cm, prendendone uno dal centro del quaderno in modo da avere due facciate su cui lavorare.

Si parte dal triangolo rettangolo isoscele di lato 10 cm e, in tutte le costruzioni a venire, si considera 10cm=1dm come la nostra unità di misura, quindi il nostro triangolo ha lato unitario 1. Questo triangolo è la metà di un quadrato e quindi l’ipotenusa corrisponde alla sua diagonale. Dal Teorema di Pitagora o, se l’abbiamo fatto, dall’attività sulla duplicazione del quadrato, sappiamo che la misura di questo segmento è il numero irrazionale √2, numero che aveva portato gli alunni a ragionare sul concetto di infinito. Argomento difficile, che introduce a nuovi insiemi numerici, sensazione da capogiro….Emma ci consiglia in “Didattica della matematica” di non aver paura di affrontare questioni complesse perché gli alunni per primi ne restano affascinati e perché in questo modo si presenta la matematica non come una serie di regole calate dall’alto ma si ripercorre con loro lo sviluppo stesso della matematica con le sue crisi, come quella che si aprì nel mondo greco a partire dal IV secolo a.C., nella Scuola dei Pitagorici.

In realtà la questione è precedente ai Pitagorici e in qualche modo già affrontata durante la dinastia Hammurabi (1900 – 1600 a. C.), come mostrato nella tavoletta catalogata come YBC7289 (Yale babylonian Collection), uno dei più antichi reperti sulla diagonale del quadrato.

Ma tornando al nostro laboratorio, i passaggi per costruire i segmenti corrispondenti ai numeri irrazionali sono piuttosto semplici e necessitano soltanto degli strumenti abituali di disegno (riga, meglio anche un compasso, squadra o qualsiasi altro oggetto che possa aiutare a disegnare angoli retti, anche un foglietto quadrato può bastare)

Partendo dal triangolo rettangolo di lato 1 si costruiscono a spirale una serie di triangoli rettangoli tutti con un cateto di misura 1 dm e nei quali l’altro cateto è l’ipotenusa del precedente triangolo, come possiamo vedere nelle seguenti foto, che ripercorrono i vari step del disegno. Per il secondo triangolo basta seguire la diagonale dei quadretti per essere sicure di costruire un angolo retto! Con il compasso o con la riga si riporta il lato 1 dm sulla perpendicolare che abbiamo disegnato. Riusciamo ad arrivare fino al segmento lungo √7, ma gli alunni intuiscono che il processo potrebbe andare avanti all’infinito.

In ogni passaggio si calcola, con il Teorema di Pitagora, il valore dell’ipotenusa e questo non è banale perché gli alunni si trovano a dover eseguire i seguenti calcoli

Questa apparente difficoltà ci porta a ragionare sul significato di operazione e di operazione inversa, che Emma Castelnuovo chiama in un altro contesto “viaggio di andata e ritorno“. Se immagino un’operazione come un viaggio per andare da qualche parte, ci sarà un’operazione che mi permette di tornare al punto di partenza: la radice è l’inverso dell’elevamento a potenza quindi è facile capire che….

Dopo aver costruito la nostra spirale, spirale conosciuta come la spirale degli Irrazionali o spirale di Teodoro di Cirene, è facile costruire delle strisce di cartoncino lunghe √2 dm, √3 dm, e √5 dm (basta riportare con il compasso la lunghezza dei segmenti costruiti precedentemente).

Possiamo ora costruire il segmento somma (√2+√3) dm: abbiamo costruito esattamente la somma di due numeri irrazionali senza scriverli come numeri decimali. Possiamo ora confrontare il segmento somma (√2+√3) dm, con la lunghezza del segmento √5 dm, per accorgerci che √2+√3 è maggiore di √5, come proposto nell’esercizio n. 77, pag. 154.

Tra i tanti esercizi che l’Invalsi ci propone è molto interessante il seguente, che spesso i ragazzi sbagliano perché non abituati a lavorare con i numeri irrazionali.

Piuttosto che far esercitare gli alunni con estenuanti espressioni frazionarie, messe sotto il simbolo della radice, quanto sarebbe utile per loro formazione “perdere tempo” a costruire il senso di questa operazione così ostica per i ragazzi, e che sicuramente ritroveranno nei loro studi futuri!

Altri spunti di osservazione che emergono durante la costruzione della spirale sono legate alla misura:

  • non tutte i segmenti che rappresentano le ipotenuse sono numeri irrazionali;
  • se si cerca di misurare con il righello le varie ipotenuse non si riesce ad avere una misura precisa, tranne il caso in cui il numero non sia irrazionale come √4, che ci darà la misura esatta di 20 cm, se stiamo stati precisi con la costruzione…

L’attività ha sempre suscitato molto interesse, può essere proposta in una seconda media (dopo il Teorema di Pitagora), ma anche in una terza media per riprendere il concetto di numeri irrazionali e della loro rappresentazione sulla retta numerica, grazie all’appoggio geometrico. Grazie a questa attività, infatti, i ragazzi comprendono come lo studio dei numeri sia strettamente legato allo studio della geometria, e come proprio dallo studio della geometria l’Umanità si è trovata “costretta” a pensare un ampliamento degli insiemi numerici fino ad allora conosciuti.

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