Percorso sui solidi: Galileo e i due contenitori cilindrici

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La matematica di tutti i giorni:  problemi di ottimizzazione.

Questo è il titolo accattivante del secondo capitolo del libricino “Pentole, ombre e formiche. In viaggio con la matematica”, di Emma Castelnuovo, dove sono riportati diversi spunti didattici, che ritroviamo poi anche nei suoi libri di testo per la scuola.

Come sempre Emma sceglie dei problemi veri di cui discutere e far discutere i ragazzi.

Il capitolo inizia parlando di pentole: pentole larghe e basse o pentole alte e strette. Quale sarà più capiente? Problemi che hanno attraversato la storia perché Galileo Galilei, che già abbiamo incontrato con il problema delle piazze delle città, ora ci parla di contenitori, di pezzi di tela rettangolari cuciti lungo il verso lungo o lungo quello corto per realizzare sacchi, sacchi per la farina, per il riso, o altro…

Nel “Dialogo intorno a due nuove scienze” Galileo Galilei racconta  come l’occhio spesso inganna e il senso comune può portare fuori strada, ma chi ha fatto esperienza di cose pratiche sa come funziona: chiedetelo ai contadini!

E quindi, dopo aver introdotto il concetto di volume, attraverso la costruzione di un portapenne a base esagonale, arrivo in classe con dei semplici fogli A4 e li piego davanti ai ragazzi in due modi diversi, per ottenere due cilindri: uno più basso ma più largo e l’altro più alto ma più stretto. E poi chiedo: il volume è lo stesso?

Tutti concordano nel dire che il cilindro che ha perso in larghezza ha acquistato però in altezza, sembrerebbe esserci una compensazione. Allora, prima di fare calcoli, prendo un altro foglio A4 e lo piego a metà lungo la dimensione  maggiore, poi lo taglio ottenendo così due rettangoli uguali molto “allungati”. Quando piego nei due versi per formare i due cilindri la differenza è  evidente: quello basso e largo è sicuramente più capiente. Se infatti metto il piccolo nel grande (tagliato in 4 cilindri piccoli) avanza molto spazio.

Non abbiamo finito però! L’attività si presta a molti sviluppi, sia per le lavorare con le formule, che per una dimostrazione algebrica.

La sfida è: calcoliamo il volume e poi controlliamo con il riso! Ci ha appassionato…

Qui i ragazzi capiscono l’utilità delle formule inverse: quando chiudiamo il cilindro è evidente che una delle dimensioni del foglio diventa la circonferenza e l’altra dimensione l’altezza. Noi abbiamo bisogno del raggio partendo dalla circonferenza. Altro punto importante: lavorando nella realtà dobbiamo necessariamente approssimare (per i calcoli usiamo la calcolatrice) e ragionare sulle approssimazioni e sul loro significato.

Facendo tutti i calcoli, un po’ in classe e un po’ a casa, arriviamo alla stessa conclusione iniziale: il cilindro basso e largo è più capiente. Però Galileo Galilei non si è fermato qui, ha trovato una legge: il rapporto tra i volumi è uguale al rapporto tra le dimensioni del rettangolo di partenza!

Lo verifichiamo con i nostri numeri e così ripassiamo il concetto di rapporto, che i ragazzi hanno ancora bisogno di digerire.

Naturalmente la parte che ai ragazzi è piaciuta di più è l’ultima: costruiamo i cilindri con cartoncino più spesso e verifichiamo in laboratorio con il riso….

Si è aperta una finestra su tutta una serie di attività: se da un foglio rettangolare posso ottenere dei cilindri posso anche ottenere dei prismi a base quadrata e quindi iniziamo l’attività proposta a pagina 120 di Figure solide….

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2 commenti

  1. Fantastico! Resto stupita dalla fantasia con la quale vengono presentati gli argomenti!
    Insegno alle superiori: sapreste consigliarmi un testo?

    1. Ciao Paola! Purtroppo non abbiamo riferimenti per le superiori, però il testo per la classe terza della secondaria è ricco di spunti e riferimenti “verticali” a ciò che lo precede e anche ad argomenti che vengono approfonditi alla secondaria di secondo grado. In realtà l’intera opera segue questa metodologia: già in prima parliamo di casi limite, facciamo riferimenti a massimi e minimi, scopriamo le coniche… Io penso che potresti provare a procurarteli e dare un’occhiata, pensando al tuo programma: sono certa che troveresti spunti anche per le tue lezioni! Se conosci qualche docente di secondaria di primo grado puoi provare a farteli procurare da lui. In quale città ti trovi?

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