Raddoppia il quadrato!

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E’ questa un’attività molto stimolante per i ragazzi, che può prendere spunto dagli esercizi a pag. 173 di Figure piane A, esercizi dedicati all’area del quadrato; esercizi per raddoppiare o dimezzare l’area di un quadrato e ragionare quindi sulla diagonale. Questi si possono dare all’inizio dell’attività oppure in seguito alla ‘scoperta’ del segreto nascosto nel quadrato.

In seconda la propongo in questo modo: consegno tre foglietti quadrati (come quelli per prendere appunti), ne faccio incollare uno sul quaderno e chiedo di usare gli altri due, ritagliandoli nel modo che riterranno opportuno, per creare un secondo quadrato che sia il doppio del primo: si tratta cioè di raddoppiare l’area, mantenendo però la forma quadrata. Se possibile, li faccio lavorare e ragionare in coppia.

Diversi alunni provano a tagliare il quadrato a strisce, cercando di ricomporle in un quadrato più grande, ma si accorgono ben presto che non è questa la strada da percorrere.

Qualcuno arriva velocemente a una delle due possibili soluzioni, altri impiegano più tempo, poi le trovano entrambe o magari sbirciano le soluzioni dei compagni.

Per aiutarli, se non riescono da soli, racconto questa storia: “C’era un contadino che possedeva un campo di forma quadrata. In corrispondenza di ciascuno dei quattro vertici del campo, esternamente alla sua proprietà, c’era un grosso albero di mele. Il contadino chiese al proprietario del terreno circostante che gli vendesse del terreno per poter raddoppiare l’area del suo campo. L’altro gli rispose: “Io ti posso vendere la terra che chiedi, ma voglio che i quattro meli continuino a far parte del mio terreno”. Il contadino ci pensò un po’ e alla fine trovò una soluzione che accontentava il proprietario e in più gli permetteva di mantenere la forma quadrata. Come fece?”

Questa attività rende evidente come spesso gli alunni facciano fatica a guardare un problema da punti di vista differenti. Tutti incollano il primo quadrato con un lato “appoggiato” in orizzontale, così come si vede sempre disegnato sui libri. Solo dopo vari tentativi, il “vincolo” del disegno viene superato, grazie al fatto che gli altri due foglietti sono a disposizione sul banco.

Anche una volta giunti alla prima soluzione, quella più semplice, alcuni non sono soddisfatti: è un rombo, non un quadrato! Il fatto che il quadrato sia un rombo particolare è molto difficile da accettare, chissà perché.

A questo punto, sempre seguendo l’esempio di Emma, è bene far scrivere una relazione: oltre a dover utilizzare il linguaggio specifico, gli alunni possono lavorare sul percorso mentale che li ha portati alla soluzione, spesso iniziato con un’illuminazione improvvisa e quindi difficile da descrivere.

Il lavoro non finisce qui: ora che abbiamo un quadrato di area doppia -2unità quadrate- chiedo ai ragazzi quanto misurerà il suo lato.

Se non siamo ancora arrivati al Teorema di Pitagora, gli alunni partiranno dalla formula per calcolare l’area del quadrato: quale numero, moltiplicato per se stesso, dà 2 come risultato? Si apriranno discussioni interessanti! E ci sarà qualche alunno che continuerà a calcolare anche alla fine dell’ora.

Qualcun altro proverà a misurare il lato del quadrato di area doppia scoprendo che…i conti non tornano! Prof, c’è un problema, l’area non è esattamente il doppio, manca qualcosa. Allora si fa notare loro che l’area è senz’altro doppia, basta osservare i triangoli rettangoli che si formano al suo interno, è la misura della diagonale invece che è approssimata, e dunque imprecisa.

Se invece abbiamo già studiato il Teorema di Pitagora, qualcuno noterà che il lato del quadrato grande corrisponde alla diagonale del piccolo, ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele, e quindi…

L’attività si presta anche ad un’introduzione storica della scoperta di radice di 2 e della necessità di introdurre nuovi numeri: i numeri irrazionali! Ancora una volta geometria ed aritmetica vanno tenute insieme!

In Didattica della matematica Emma Castelnuovo esorta i docenti a non aver paura di affrontare con gli alunni anche le scoperte che hanno messo in crisi il pensiero matematico, come in questo caso. Anzi sarà proprio parlare e raccontare le ‘crisi’ nello sviluppo del pensiero matematico che aiuterà gli alunni a vedere la matematica non come una serie di formule e teorie date dall’alto ma come una scienza che procede per tentativi, errori e scoperte.

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