Il ruolo degli esercizi di matematica secondo Emma Castelnuovo

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Quando facciamo svolgere “esercizi” ai nostri alunni, quale obiettivo ci prefiggiamo?
Scrive Emma Castelnuovo nella Guida al testo per la scuola “La via Matematica” (1970):
“E’ chiaro che gli esercizi devono costituire una parte essenziale di tutto il corso. La maggior parte degli esercizi verrà svolta in classe, alla lavagna e sul quaderno, mentre l’insegnante gira fra i banchi per aiutare chi trova delle difficoltà e incoraggiare a una redazione corretta. (…)

Gli esercizi sono di tanti tipi, sicché mi sembra di essere più chiara raggruppandoli in tre grandi “gruppi” ed illustrando gli scopi che ognuno di questi si prefigge.

 

A) Esercizi per attività para-scolastiche: (…) Si può dire che la maggior parte di questi esercizi è un tema di discussione (potrebbe costituire una ampia relazione scritta) e apre una finestra sulla realtà (…). Si tratta di problemi che vogliono richiamare l’attenzione dei ragazzi su ricerche scientifiche attuali, alcune delle quali tuttora in discussione. Anche se alcuni di questi problemi sono assai complessi, l’interesse che destano è tale che, spesso, il ragazzo riesce a superare le difficoltà. È certo che il suo compito sarà molto facilitato da una buona preparazione in Osservazioni Scientifiche.

B) Esercizi e problemi “aperti”: (…) Ho cercato di disporre gli esercizi, per ogni capitolo, in ordine di difficoltà. I bambini devono rendersi conto che risolvere un problema non significa trovare la soluzione nel modo più rapido ed esaurire così la questione; perché, la maggior parte degli esercizi apre una problematica, ponendo una questione aperta. Ad esempio: ” Quale è l’area di un rettangolo di perimetro cm 24? ” La risposta non è, evidentemente, unica: il bambino, che non è abituato a questo genere di problemi, rimarrà all’inizio assai perplesso. Poi ci prenderà gusto e non vorrà «mettersi» altro che a problemi aperti: è infatti solo così che avrà l’impressione di «fare della matematica». Questi problemi aperti conducono, spontaneamente, a scrivere una relazione: relazione che potrà cominciare con un semplice schema; per esempio, per riferirsi al problema sul rettangolo di perimetro cm 24, con una tabella di questo tipo: base… altezza… area… L’osservazione della tabella conduce a tante considerazioni: valore massimo dell’area, valore minimo, casi uguali, cioè simmetria nei valori dell’area. Conduce anche ad osservazioni sul prodotto di un numero intero per un numero minore di 1. Poi, ancora, fa nascere il desiderio di costruire il grafico della funzione. Questa problematica sui rettangoli isoperimetrici fa ricordare altri casi di poligoni aventi lo stesso perimetro; e può anche portare alla considerazione del problema duale, cioè del problema di rettangoli (o in generale poligoni) aventi la stessa area. (…) In ogni modo — e ancora una volta lo dico — incoraggiamo i bambini a scrivere, non togliamo loro l’entusiasmo dicendo un troppo secco “non è chiaro; le tue frasi sono contorte; non è un linguaggio matematico “. Ripetiamo che «scrivere di matematica» è difficile, e ci si arriva a poco a poco.

 

C) Gli esercizi per apprendere “una tecnica”: Non c’è dubbio che una parte di esercizi deve avere per unico scopo quello di addestrare a una «tecnica operatoria». È come — si dice — l’apprendimento del solfeggio da parte di un allievo di un’Accademia Musicale: non si può insegnare solo un Mozart o uno Chopin o uno Stravinskij, ma ci vuole un addestramento preparatorio e continuo. Occorre dunque, in questo triennio di matematica, che l’allievo apprenda anche il calcolo meccanico: le espressioni non si devono tralasciare. Con l’affermare questo, però, aggiungo che sarebbe molto pericoloso e addirittura assurdo esagerare in esercizi di questo tipo. A nessun matematico occorrerà mai di dover calcolare un’espressione «a 3 piani sopra e 3 sotto», magari sovrastata da un segno di radice quadrata da calcolarsi a meno di 1/100! (…). Si dirà: ma la risoluzione di espressioni chiarisce il significato di numero e, quindi, solo per questo, non deve essere lasciata da parte. Rispondo subito che è proprio nelle architettate espressioni che io vedo il pericolo di perdere il significato di numero, fino al punto che se il risultato finale è 2/3, e si chiede se questo valore è maggiore o minore di 3/4, il ragazzo, preso dal «gioco meccanico delle pedine», non solo non sa rispondere ma si meraviglia anche della nostra domanda: il «gioco» gli ha fatto completamente perdere l’idea che sta operando su numeri. La risoluzione di espressioni è senz’altro importante purché ogni passaggio sia sostenuto da una logica operatoria; ora, per ottenere questo, bisogna che le espressioni siano semplici, e scelte in modo che il ragazzo non si possa abbandonare facilmente a un meccanico tecnicismo.”

 

 

In poche righe ritroviamo questioni estremamente attuali:
– La necessità di abbandonare la lezione frontale come metodologia di insegnamento prevalente, stare di più “in mezzo” agli alunni
– L’utilizzo di problematiche non banali, “sfidanti”, interdisciplinari (compiti di realtà?)
– Verticalità negli argomenti affrontati
– La possibilità di far costruire agli alunni le proprie conoscenze “scoprendo” da soli e descrivendo con linguaggio sempre più preciso proprietà, definizioni…
– Il problema degli esercizi tutti uguali, inutili “virtuosismi”. Pensiamo non solo alle espressioni, ma anche agli esercizi di scomposizione in fattori, di calcolo del mcm e MCD, ai problemi geometrici, in cui la gradualità consiste nient’altro che nell’inserire formule inverse e risoluzioni grafiche.

 

 

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