Il Teorema di Pitagora partendo dalla storia

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L’osservazione del mondo circostante e la storia sono i pilastri del metodo didattico utilizzato da Emma Castelnuovo.

Il percorso inizia quindi con una domanda “Pitagora: chi era?” e con questa domanda inizia anche il Capitolo 2 del libro Figure piane B.

La storia incuriosisce, stimola la riflessione, crea delle aspettative. Emma Castelnuovo seguiva spesso la storia per sviluppare i suoi percorsi e infatti molti capitoli iniziano con un’introduzione che parte dal passato. Il richiamo al francobollo che la Grecia emette nel 1955, in onore di Pitagora, è lo spunto per iniziare e nella stessa pagina è riportata una cartina geografica, con cerchiate due città: Samo e Crotone, le due città rese famose da Pitagora, e dalla sua scuola. Anche i luoghi sono importanti per la capire la storia…

E poi si va ancora più indietro nel tempo e si incontra a pagina 29 “il teorema di Pitagora prima di Pitagora” quando gli Egiziani nel 3000 a. C. usavano il metodo della corda per costruire l’angolo retto, e i Babilonesi si ponevano il problema di un bastone di 30 unità appoggiato ad un muro, che poi scivola di 6 unità. Ci si chiedeva: di quanto il piede del bastone si è allontanato dalla base del muro? Un problema riportato in una tavoletta del 2000-1800 a.C. che ritroviamo nella sezione “Un po’ di storia” a pag. 41.

Gli Egiziani notarono anche una strana proprietà di questi numeri con i quali potevano costruire l’angolo retto.

Lo scorso anno, grazie ad un’idea proposta dalle video-lezioni di MathUp, sono partita proprio dai numeri. Numeri per costruire dei quadrati. Ho fatto realizzare agli alunni dei quadrati di lati diversi e poi questi quadrati venivano composti accostandoli a formare dei triangoli. I ragazzi potevano osservare quindi che tra i 3 tipi di triangoli che si vengono a formare (acutangoli, ottusangoli e rettangoli) solo per il triangolo rettangolo è vero che: il quadrato sul lato maggiore è equivalente alla somma dei quadrati sugli altri due lati.  Questo non avviene negli altri due casi (triangoli acutangoli e ottusangoli).

Lo stesso ragionamento lo ritroviamo nel libro a pagina 39, dove si fissa l’attenzione sui triangoli isosceli: isosceli ottusangoli, isosceli rettangoli e isosceli acutangoli:

  • nel primo caso la somma dei quadrati costruiti sui due lati uguali è minore del quadrato costruito sul terzo lato;
  • nell’isoscele acutangolo la somma dei quadrati costruiti sui due lati uguali è maggiore del quadrato costruito sul terzo lato;
  • solo nel triangolo isoscele rettangolo si ha l’equivalenza tra la somma dei quadrati costruiti sui due lati uguali e il quadrato costruito sul terzo lato.

Quindi il teorema di Pitagora si può leggere anche al contrario: se la somma di due quadrati è equivalente al terzo, allora si formerà un triangolo rettangolo.

Per la “scoperta del teorema di Pitagora” Emma Castelnuovo propone, nelle Esposizioni che l’hanno resa famosa, un dispositivo mobile simile a quello del quadrato nel quadrato ma con un doppio pannello perché si possa arrivare all’intuizione del teorema, anche senza dimostrarlo. Questo teorema “è una dei fuochi della geometria elementare piana, sia da un punto di vista scientifico che da un punto di vista didattico e psicologico” scrive Emma nella sua “Didattica della matematica”.  E’ qualcosa che resterà per sempre nella memoria dei ragazzi. E’ bene quindi perderci tempo e “lasciare ai ragazzi il tempo di perdere tempo” come diceva spesso Emma.

E ancora, per far vedere la relazione tra questi quadrati, a pagina 31 il libro propone di usare una bilancia, una semplice leva per “vedere” le equivalenze delle figure. Negli esercizi del Capitolo 2 si lavora molto con i quadrati prima di passare alle formule, perché le formule spesso azzerano tutti i ragionamenti e fanno perdere alla matematica quello che dovrebbe essere il suo principale obiettivo: imparare a ragionare! Se sfogliamo il libro nella parte delle teoria non incontriamo le formule del teorema di Pitagora, ma il ragionamento che sta dietro a queste formule, scritto nelle sue varie fasi. Emma scrive “il procedimento ora descritto si può riassumere così: si scrive il segno di radice quadrata, e, sotto questo segno si indica la somma dei quadrati dei due cateti”.

Fantastico! Emma ci ricorda che una formula non è altro che la sintesi di un ragionamento e se io tengo vivo il ragionamento forse mi ricorderò anche le formule.

E ancora ci aiutano i diversi puzzle che si possono realizzare per “vedere”, comprendere e ricordare questo importante teorema, per esempio seguendo gli esercizi a pagina 152, n.23 e 24. Qui si lavora con un triangolo rettangolo isoscele (esercizio 23) e un triangolo rettangolo in cui un cateto è doppio dell’atro (esercizio 24). Per i casi generali si può usare il puzzle di Perigal. Lo scorso anno la nonna di un mio alunno, che si è cimentata con uno dei puzzle realizzato dai ragazzi, ha ricevuto un caloroso applauso per essere riuscita a comporre la figura richiesta! Sotto lo sguardo attento e curioso dei partecipanti.

Si può decidere di dedicare ulteriore spazio a questo bellissimo teorema. Seguendo Emma si può decidere di realizzare un’esposizione in cui i ragazzi diventano protagonisti e tirano fuori le loro competenze. Restituiscono quello che hanno imparato. Sono loro che alla fine dell’anno guidano i genitori o le altre classi lungo un percorso alla scoperta del teorema di Pitagora. Si può allora “ampliare il teorema di Pitagora” portando i ragazzi a scoprire che se sui lati del nostro triangolo rettangolo ci mettiamo al posto dei quadrati altre figure, purché SIMILI, il teorema mantiene la sua validità. Anche qui possiamo sempre pensare di usare la bilancia-leva per mostrare l’equivalenza delle figure.

Oggi si parla molto di didattica inclusiva, curricolo verticale e competenze, ma tutto questo c’è sempre stato nella didattica di Emma Castelnuovo, che rimane per noi ancora oggi una grande maestra di didattica della matematica.

 

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