Tra curiose operazioni, geometria e… suggestioni pittoriche!

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L’articolo che segue è della collega Damiana Sforzi, I.C. G. Marconi di Venturina Terme (Li). Ha preso ispirazione da un poster del laboratorio tenuto a Cenci da Carla Degli Esposti e Paola Gori (settembre 2013), “Curiose operazioni” (l’esercizio si trova nella vecchia edizione del testo La Matematica per la scuola media), in cui la ricerca di un appoggio geometrico per studiare una sequenza di operazioni ha ispirato un collegamento di forme e colori con le opere di Mondrian:

Nella mia classe prima, Scuola Secondaria di Primo Grado dell’I.C. G. Marconi, ho proposto un problema di Emma che ho visto realizzare a Cenci nel 2013 e che mi ha incuriosito perché legato all’arte, più precisamente a Mondrian.
“se si aggiunge 1 al prodotto di 4 numeri consecutivi interi, il risultato è sempre il quadrato di un numero intero?”
Per questo lavoro abbiamo disposto i banchi a formare delle “isole”.

Nella prima fase abbiamo analizzato il testo: ho chiesto ai miei alunni di fare degli esempi e con grande gioia il primo esempio è stato
0x1x2x3+1=1
A partire da qui è stato facile anche per gli alunni con più difficoltà trovare altri esempi in successione:
1x2x3x4+1=25
2x3x4x5+1=121
3x4x5x6+1=361
Ecc …
Nella seconda fase ho chiesto di rappresentare le operazioni graficamente e ho lasciato liberi gli alunni senza dare indicazioni. Abbiamo sviluppato graficamente le moltiplicazioni a partire dai primi due fattori.
Nel caso del primo esempio hanno associato, con un certo stupore, il numero 1 con un quadrato. (I miei alunni non avevano mai riflettuto sul fatto che un numero dispari potesse essere rappresentato con un quadrato)

Quindi abbiamo discusso sul fatto che si potrebbe prima rappresentare il rettangolo 1×2, che dovrà essere ripetuto 3 volte … poi il rettangolo 1x2x3 dovrà essere ripetuto 4 volte ecc.. I ragazzi hanno registrato sul loro quaderno le varie fasi.

Abbiamo discusso anche sul modo diverso in alcuni alunni, lavorando in maniera autonoma, avevano “orientato” il rettangolo e le varie motivazioni…
Nelle fasi 1 e 2 abbiamo lavorato sul quaderno utilizzando fogli da 1 cm sui quali hanno costruito i rettangoli
Nella terza fase ho chiesto: “comporre un quadrato a partire dai pezzi ottenuti, verificando quindi che il risultato 1x2x3x4+1= 25 sia un numero quadrato.
Gli alunni già sapevano che 25 è un numero quadrato ed è stato facile a partire dai 4 rettangoli ottenuti e dal +1 comporre un quadrato.
Operativamente hanno ricostruito “i rettangoli 1x2x3x4” utilizzando i colori di Mondrian su mia richiesta in modo da comporre il nostro quadro.

Per i quadrati successivi abbiamo lavorato in maniera analoga. Le difficoltà maggiori sono risultate nella costruzione dei quadrati a partire dai pezzi rettangolari. Non sono state date indicazioni o suggerimenti di nessun tipo, ognuno, chi prima e chi dopo, ha completato la composizione del suo quadro.
Le prime tre fasi sono state sviluppate in circa un’ora di lezione al mattino e due ore al pomeriggio.

Prime riflessioni/conclusioni del lavoro tratte dai quaderni:
1. contando i quadretti dei lati dei quadrati ottenuti si arriva a scoprire che:
25 è il numero quadrato di 5. Quindi 5×5=25
121 è il numero quadrato di 11. Quindi 11×11=121
361 è il numero quadrato di 19. Quindi 19×19=361
Ecc…
2. il numero quadrato è il risultato che ottengo moltiplicando un numero per se stesso
Abbiamo così costruito una tabella

Nella quarta fase abbiamo cercato di intuire la regola sulla base degli esempi fatti. Per facilitare il compito abbiamo evidenziato alcuni numeri”
1x2x3x4+1=25
2x3x4x5+1=121
3x4x5x6+1=361
Ecc…
La ricerca di una regolarità ci ha portato alle seguenti osservazioni/riflessioni tratte dai quaderni dei ragazzi:
1. andando avanti con le moltiplicazioni si toglie sempre il primo numero e si scala il successivo e si aggiunge 1 alla fine.
2. Vengono sempre numeri dispari perché di aggiunge 1
3. Se si leggono tutte le operazioni in diagonale da NO a SE si trova una fila di numeri dispari e una pari e così via in successione
4. Se si leggono tutte le operazioni in verticale da N a S si trovano i numeri in successione sempre aggiungendo 1
5. Se si leggono tutte le operazioni in orizzontale da O a E si trovano tutti i numeri in successione aggiungendo 1
L’osservazione più interessante di una ragazzina …

Lavoro complesso ed interessante, che rinforza numerosi concetti ed apre davvero molti spunti per approfondimenti “verticali”. Complimenti Damiana! Qui sotto il poster ispiratore ed un esempio di un lavoro di Mondrian



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