Un percorso su volumi e superfici con le “scatole”

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Riportiamo un lavoro della collega Sonia Ciardo (“SMS Umberto Nobile”, Ciampino), sul problema della scatola più capiente.

Sonia è partita da un quesito Invalsi del 2009 ed ha proposto un percorso ai suoi alunni di terza, utilizzando varie metodologie, che le hanno permesso di includere e motivare tutti gli alunni. Situazioni problematiche che prevedono la costruzione di scatole si trovano nel libro di testo di Emma Castelnuovo nel volume “Figure solide”: un foglio rettangolare piegato parallelemente a ciascuna delle due dimensioni, pag. 120; la scatola ottenuta ritagliando quattro quadrati agli angoli del foglio, pag. 121 e seguenti.

Il lavoro di Sonia mostra anche come poter lavorare a partire da un problema concreto, per poi arrivare a rappresentazioni e modelli con l’uso di strumenti digitali (Excel, Geogebra).

Riportiamo il suo articolo ed alcuni allegati che ha messo a disposizione di tutti:

Fase 1: Dalla superficie ai volumi

Agli alunni vengono consegnati una scheda e un foglio di carta centimetrata.

Dopo aver discusso sul concetto di volume si chiede di ritagliare due rettangoli di dimensioni 20 cm e 12 cm. Con questi due fogli identici si chiede loro di dividerli in quattro parti uguali: uno parallelamente alla dimensione minore e l’altro parallelamente alla dimensione maggiore (si veda immagine).

Note: in questa prima parte nessuno ha avuto difficoltà nella costruzione della scatola.

Nessun alunno è riuscito a disegnare esattamente la scatola.

   

Dopo la costruzione abbiamo riflettuto sulla misura della superficie laterale delle scatole e sul loro volume.

Note: Nessuno ha mostrato difficoltà nel capire che le superfici laterali erano uguali, molti hanno motivato dicendo che partendo dallo stesso foglio le due superfici dovevano avere necessariamente la stessa area.

Le prime difficoltà sono emerse parlando di volumi, molti pensavano che i volumi fossero uguali perché quello che “si perdeva in larghezza si recuperava in lunghezza”.

Tutti sono riusciti comunque a calcolare il volume esatto e a riconsiderare le posizioni inziali.

Nessuno ha disegnato in modo esatto le scatole.

Fase 2: Il problema della scatola

Gli alunni vengono divisi in gruppi di 3/4 e a ciascun gruppo viene consegnata una scheda, dei fogli di carta centimetrata e dei cartoncini colorati.

Il tempo a disposizione è di 2 ore.

Si proietta un quesito Invasi (a.s. 2008/2009) e si chiede di rispondere alla domanda ragionando sul risultato ottenuto.

A questo punto si chiede loro, partendo da 8 fogli di carta centimetrata, di ritagliare un quadrato di lato 18 cm e di costruire 8 scatole diverse, togliendo dagli angoli del primo quadrato 1 cm, poi 2 cm e così via. Le scatole vengono numerate da 1 a 8 a seconda che vengano eliminati quadrati di 1 cm, 2 cm e così via.

Per facilitare la spiegazione si proiettano delle immagini.

Nella scheda si chiede agli alunni di completare una tabella e di provare a generalizzare per una qualsiasi scatola x.

Gli alunni non hanno avuto difficoltà nel determinare le dimensioni di base e altezza delle diverse scatole e nel costruirle. I diversi quadrati sono stati incollati su del cartoncino colorato e poi si sono richiuse le scatole.

Una volta ultimate le scatole abbiamo discusso sul possibile volume di ciascuna di esse.

Nonostante il lavoro fatto nella lezione precedente (fase 1), 4 alunni su 19 hanno avuto difficoltà a immaginare che le scatole così costruite avessero volume diverso.

Alcuni commenti di chi affermava che avessero tutte lo stesso volume:

  • Partiamo dallo stesso foglio
  • «Da una parte levi e dall’altra aggiungi»

Alcuni commenti di chi affermava che non avessero tutte lo stesso volume:

  • La scatola più alta avrà un volume maggiore (scatola 8)
  • La scatola più larga avrà un volume maggiore (scatola 1)
  • La scatola n° 2 avrà un volume maggiore

A questo punto gli alunni sono stati invitati a calcolare il volume di ciascuna scatola. Tra lo stupore generale la scatola avente volume maggiore era la numero 3.

I valori trovati sono stati riportati in grafico su fogli di carta millimetrata.

Gli alunni con disabilità hanno avuto a disposizione delle scatole di legno, aventi le stesse dimensioni, e hanno calcolato quale delle scatole contenesse più riso.

Note: Le maggiori difficoltà si sono riscontrate nel calcolo del volume di una scatola generica x.

Dal discreto al continuo

Si riprende il problema della scatola in classe con l’aiuto di un’animazione elaborata dall’insegnante con Geogebra.

Si chiede agli studenti se ha senso o meno unire i punti sul piano cartesiano ottenuti per valori di volume trovati.  Sono tutti concordi nel dire che fino alla scatola 3 il volume “cresce” e poi “decresce”.

Per verificare questa conclusione si introduce l’utilizzo del foglio di lavoro di Excel

Con un altro foglio si costruisce la tabella di valori per variazioni di 0,5 cm ( e poi di 0,25 cm) del lato del quadrato ritagliato dai 4 angoli del quadrato di 18 cm.

In questo modo si può visualizzare facilmente come (e se) sia possibile passare dal discreto al continuo e si possono esplorare le potenzialità di excel.

Avendo la possibilità di “infittire” i punti abbiamo valutato quanto “buona” sia stata la nostra approssimazione iniziale.

Variazioni di superficie

L’ultimo approfondimento proposto agli alunni è stato quello di stimare come variava (e se variava) la superficie totale delle scatole prodotte.

Tutti (tranne 1) hanno concordato che sarebbe variata. In particolare un ragazzo ha subito intuito che la superficie diminuiva in quanto, ogni volta, venivano eliminati 4 quadrati.

Sebbene tutti abbiano concordato con questa ipotesi, nel momento di calcolare la superficie totale nessuno ha pensato di calcolare la superficie delle diverse scatole sottraendo all’area del quadrato iniziale l’area dei quattro quadratini ritagliati da ciascun angolo.

Tutti hanno calcolato (correttamente) la superficie applicando la formula standard.

Alla fine sono stati riportati i risultati ottenuti in un grafico.

Allegato_1_dalla superficie al volume

allegato_2_il probema della scatola

allegato_3_materiale proiettato in classe

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